Cálculo de Diferenças Finitas: Resumos de Aulas 10 a 15

Aula 10 – Equações de Diferença Lineares de Ordem k :  Queremos resolver equações na forma p_{k}(n+k)y(n+k)+p_{k-1}(n)y(n+k-1)+...+p_0(n)y(n)=g(n)  com p_k(n)\neq 0 e p_0(n)\neq 0.  Definimos o Problema de Valor Inicial (PVI): uma equação linear de ordem k e k condições iniciais. Enunciamos o teorema de existência e unicidade de solução do PVI. Discutimos soluções para equações lineares de ordem k homogêneas: p_{k}(n+k)y(n+k)+p_{k-1}(n)y(n+k-1)+...+p_0(n)y(n)=0 . Definimos sequências linearmente dependentes e linearmente independentes. Mostramos que um conjunto de sequências é linearmente independente se o Casoratiano W(n) for não nulo para algum n.  Elaidy cap.2. Kelley cap.3

Aula 11 – Espaço de Soluções de Equações de Diferença Lineares Homogêneas de Ordem k :  Estas equações podem também ser escritas como: \sum_{j=0}^k [p_j(t) E^j u(t)]=0  Mostramos que as soluções para equações lineares homogêneas de ordem k formam um subespaço vetorial  gerado por um conjunto fundamental \{x_1(n),...,x_k(n) \} de k sequencias linearmente independentes.  Elaidy cap.2. Kelley cap.3

Aula 12 – Conjunto fundamental de soluções para Eqs. de Diferença Lineares Homogêneas de Ordem k com coeficientes constantes: Discutimos equações do tipo \sum_{j=0}^k [p_j E^j u(t)]=0. Mostramos que estas equações podem ser escritas na forma [E- \lambda_1]^{\alpha_1}...[E- \lambda_m]^{\alpha_m}u(t)=0 , onde \lambda_1, ...,\lambda_m são raízes do polinômio  característico \sum_{j=0}^k p_j \lambda^j=0  com multiplicidades \alpha_1,...,\alpha_m. Enunciamos o seguinte teorema:  O conjunto fundamental de soluções para a equação [E- \lambda_1]^{\alpha_1}...[E- \lambda_m]^{\alpha_m}u(t)=0 é  dado por   \lambda_1^t, t \lambda_1^t, ..., t^{\alpha_1-1} \lambda_1^t,...,\lambda_m^t, t \lambda_m^t, ..., t^{\alpha_m-1} \lambda_m^t  Elaidy cap.2. Kelley cap.3

Aula 13 – Método do Aniquilador para Eqs. de Diferença Não-Homogêneas Lineares de Ordem k com coeficientes constantes: Introduzimos o método do aniquilador para equações não-homogêneas \sum_{j=0}^k [p_j E^j u(t)]=r(t). A ideia do método é encontrar  um operador tal que  A(E) r(t) = 0 e então resolver a equação homogênea   A(E) \sum_{j=0}^k [p_j E^j u(t)]=0 usando o teorema da Aula 12. Após resolver esta nova equação homogênea voltamos a equação original e restringimos os coeficientes (devem sobrar apenas k coeficientes). Elaidy cap.2. Kelley cap.3

Aula 14 – Exemplos de solução de Eqs. de Diferença Não-Homogêneas Lineares de Ordem k com coeficientes constantes: Resolvemos 5 equações usando o método do aniquilador. Elaidy cap.2. Kelley cap.3

Aula 15 –   Soluções Gerais e Particulares:  Discutimos novamente soluções para   eqs. de diferença não-homogêneas lineares de ordem k com coeficientes constantes. Mostramos que soluções para estas equações são dadas pela soma de uma solução particular da equação não-homogênea com a solução geral para a versão homogênea da equação. Enunciamos e aplicamos o seguinte teorema para construção de soluções particulares.  Uma solução particular para a equação \sum_{j=0}^k [p_j E^j y(t)]=r(t) pode ser construida da seguinte maneira. Seja u(t) a solução para o PVI definido por \sum_{j=0}^k [p_j E^j y(t)]=0 com y(0)=0,y(1)=0,...,y(k-2)=0,y(k-1)=1. Uma solução particular v(t) é então dada por v(0)=0,v(1)=0,...,v(k-2)=0,v(k-1)=1 e v(t)=\sum_{j=k}^t r(j) u(t+k-1-j) para t>k-1. Kelley cap.3

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: