Cálculo de Diferenças Finitas: Resumos de Aulas 4, 5 E 6

Aula 4 – Resolvendo Equações de Diferença Lineares de Primeira Ordem:  ordem de equações de diferença: amplitude dos passos envolvidos na equação. Equações de diferença podem ser entendidas como sistemas dinâmicos discretos   definidos por um mapa  x_{k+1} =F_k (x_{k}) com x_0 dado. A equação será autônoma se F for independente de k, será linear se F for uma função linear, será homogênea se for linear sem um termo que dependa apenas de k.  Uma solução para uma equação de diferenças é uma sequência (x_k) que satisfaz o mapa x_{k+1} =F_k (x_{k}) com x_0  dado. Mostramos (não demonstramos, mas você pode fazer isso por indução finita) que  soluções para equações do tipo x_{k+1}=a_k x_k +g_k   tem a forma x_n=[ \prod_{i=0}^{n-1} a_i ] y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} [\prod_{i=k+1}^{n-1} a_i ] g_k . Exemplo de aplicação em farmacocinética: cálculo da dose necessária para atingir uma dada concentração  de uma droga na circulação. Elaidy cap.1 e  Goldberg cap.2.

Aula 5 – Equilíbrio e Diagrama de Teia de Aranha: Exemplo de aplicação em finanças: cálculo de parcelas necessárias para amortizar o saldo de uma dívida. Um equilíbrio (ou ponto fixo) x^{*} é  um ponto  tal que   x^{*} =F (x^*)(o mapa atua como a identidade nesse ponto). Com um modelo para a dinâmica de preços em um mercado ilustramos a ideia de equilíbrio estável e o diagrama de Teia de Aranha. Um equilíbrio é estável se para x_0=x^*+\epsilon a sequência gerada pelo mapa  convergir para x^*x^* “atrai” as trajetórias). O diagrama de Teia de Aranha (Cobweb)  é um recurso gráfico para estudarmos intuitivamente  sistemas dinâmicos discretos em uma dimensão.  Veja aqui:  http://en.wikipedia.org/wiki/Cobweb_plot   Elaidy cap.1. 

Aula 6 – Existência de Equilíbrios:  Demonstramos o Teorema de Ponto Fixo de Brouwer para mapas unidimensionais nos números reais.  Veja um ponco mais aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem e http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_ponto_fixo_de_Brouwer. Usamos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que duas condições suficientes para existência de ponto fixo são: 1. continuidade do mapa $F$ em [a,b]; 2. $latex  Im(F) \subseteq Dom(F)$. Também provamos o seguinte teorema: Se a sequência gerada por x^{*} =F (x^*) converge, e  F é contínua, então a sequência converge para  um ponto fixo.

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